Ⅰ-2   测量与误差

一、测量

    1．测量的定义

    测量的定义是将待测的物理量与一个选做标准的同类量进行比较，得出他们之间的倍数关系。作为标准的同类量称之为单位。倍数称之为测量值。由此可见，一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。在记录测量值时，一定要写明数值和单位。

    根据《中华人民共和国计量法》有关规定，国家计量局规定以国际单位制（SI）为国家法定计量单位，即以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他量由以上七个基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。

    2．测量分类

    按测量方式可分为直接测量和间接测量：

    （1）直接测量：用测量仪器能直接测出被测量的量值的测量过程称之为直接测量。相应的被测量称之为直接测量量。例如：用米尺测物体的长度，用天平称物体的质量，用秒表测时间等是直接测量。相应的长度、质量、时间等称之为直接测量量。

    （2）间接测量：间接测量是指测出与待测量有一定函数关系的直接测量量，再将直接测量的结果代入函数式进行计算，得到待测物理量的测量值，这个过程称之为间接测量。相应的被测量称之为间接测量量。例如：测量固体密度，其公式为，用卡尺和千分尺测圆柱体的高度和直径，用电子秤或天平测出其质量。这些都是直接测量，然后，将、和的值代入测量公式，计算出圆柱体的密度。整个过程称之为间接测量。其中，是间接测量量，、和是直接测量量。

    按测量条件可分为等精度测量和非等精度测量：

    （1）等精度测量：在同等条件下进行的多次重复性测量称之为等精度测量。即环境、人员、仪器、方法等都不变，对一个待测量进行多次重复测量。由于各次的测量条件相同，测量结果的可靠性、测量的精度也是相同的。

    （2）非等精度测量：在特定的不同条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数、不同的人员进行测量，这种测量叫做非等精度测量。     

    在实际测量中，常用的测量主要是单次测量，等精度测量和间接测量。当测量精度要求不高时用单次测量，测量精度要求比较高时用等精度测量，在无法使用直接测量时才用间接测量。

二、误差

    1．误差的定义

    每一个待测物理量在一定的客观条件和状态下所具有的真实大小，称之为该物理量的真值。进行测量时，由于理论的近似性，实验仪器灵敏度的局限性，环境条件的不稳定等因素的影响，测量值总是不可能绝对准确。测量值与真值之差称之为误差。按表达式分为绝对误差和相对误差。

    （1）绝对误差和残差

                     （Ⅰ-2-1）

    式中，表示绝对误差，表示测量值，表示真值。

    绝对误差反映了测量的准确度。由于误差存在于一切测量过程中，真值虽然是客观存在的实际值，但无法得到。因此在等精度测量中常用测量值与平均值之差来估算绝对误差。我们把测量值与平均值之差，称为测量值的残差，其符号用，表达式为

                     （Ⅰ-2-2）

    在估算绝对误差时，有时用被测量的公认值、理论值或更高精度的测量值代替真值，这些值称为约定真值。

    （2）相对误差

％                 （Ⅰ-2-3）

    表示相对误差。通常相对误差用百分数表示，也成为百分误差。

    2．误差的分类及其特性

    测量误差按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

    （1）系统误差

    在对一物理量进行多次等精度测量时，误差为常数或以一定规律变化的误差称为系统误差。系统误差可分为可定系统误差和未定系统误差。

    可定系统误差：在测量中大小和正负可确定的误差。测量中应该消除该误差。例如，零点误差，千分尺零点不为零，测量时记下零点值，再测量被测量值的大小为，则修正后值（-）就消除了千分尺的零点误差。

    未定系统误差：测量中只能确定大小，不能确定正负的误差。仪器的允差就属于未定系统误差。例如：一个名义质量100的三等砝码，它的质量的允差为 ±2，这意味着：其质量在99.998~100.002之间。在没有校准之前，就不能知道这一系统误差的大小，我们便说它含有未定系统误差。未定系统误差随实验条件的变化往往具有一定程度的随机性质，因而它也是随机误差，可以对它进行概率估计。

    产生系统误差的原因有：

    a．由于测量仪器不完善，仪器不够精密或安装调整不妥，如刻度不准、零点不对、砝码未经校准、天平臂不等长、应该水平放置的仪器没有放水平等。

    b．由测量公式产生的系统误差。测量公式本身的近似性或没有满足理论公式的规定条件。例如，单摆的周期公式，近似成立的条件是摆角小于5°，用这个计算公式计算时，计算本身就带来了误差。

    c．由于实验人员生理或心理特性，缺乏经验等引起的误差。例如有的人习惯于斜视读数，有的人眼睛辩色能力较差等都会使测量值偏大或偏小。

    系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减少。在实验中，发现、消除和减小系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素。在实验中，学生要逐步学会对具体问题做具体分析与处理，指导教师要注意培养学生这方面的能力。

    （2）随机误差（偶然误差）

    随机误差又称偶然误差，是指在多次等精度测量中，误差变化是随机的，忽大忽小，忽正忽负，没有规律，这样的误差称之为随机误差。

    随机误差主要来源于人们的视觉、听觉和触觉等感觉能力的限制以及实验环境偶然因素的干扰。例如：温度、湿度、电压的起伏、气流的波动以及震动等因素的影响。从个别测量值来看，带有随机性、杂乱无章没有规律。当测量次数足够时，随机误差满足一种统计规律。最常见的就是正态分布也称高斯分布。

    ①     高斯分布（正态分布）

    大多数偶然误差，包括以后经常遇到的多次等精度测量的算术平均值的偶然误差以及间接测量结果的偶然误差都可以被认为近似服从正态分布。正态分布是一种很重要的概率分布。正态分布的概率密度函数为：

                      （Ⅰ-2-4）

    且

                        （Ⅰ-2-5）

（a）随机误差的正态分布曲线               (b)σ值与曲线形状的关系 图Ⅰ-2-1  正态分布曲线

    高斯分布的特征可以用高斯分布曲线表示出来，见图Ⅰ-2-1（a）。横坐标为误差，纵坐标为概率密度分布函数。式（Ⅰ-2-4）中是与实验条件有关的常数，称之为标准误差。其值为

                        （Ⅰ-2-6）

    式中，为测量次数，是各次测量的随机误差，。

    正态分布主要有4个重要特征：

    单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，=0形成一峰值，即真值出现的概率最大。

    对称性：大小相等的正误差和负误差出现的概率相同。

    有界性：非常大的正误差和负误差出现的可能性几乎为零。

    抵偿性：正负误差具有抵消性。当→∞，误差的代数和趋近于零。

    由式（Ⅰ-2-4）可知，随机误差正态分布曲线的形状取决于值的大小如图Ⅰ-2-（b）所示，的值愈小分布曲线愈陡，峰值愈高，说明绝对值小的误差占多数，且测量的重复性好，分散性小；反之，值愈大曲线愈平坦，峰值愈低。说明测量值的重复性差，分散性大。标准误差反映了测量值的离散程度。

    测量值的随机误差出现在区间（，+）的概率为，即图Ⅰ-2-1（a）中阴影部分的面积元。由正态分布函数可计算出测量值误差出现在区间（），（），（，）内的概率为

    ===68.3％

    ===95.4％

    ===99.7％

    在通常有限次测量中，测量误差超过±范围的情况几乎不会出现，所以把3称之为极限误差。

    ② 算术平均值和算术平均值的标准误差

    由于测量误差的存在，真值实际上是无法测得的。根据随机误差的正态分布规律，测得值偏大或偏小的机会相等。因此，在排除掉系统误差后，多次测量的算术平均值为：

                    （Ⅰ-2-7）

    且

                      （Ⅰ-2-8）

    这个算术平均值必然最接近被测量的真值，而且当测量次数趋于无限多（→∞）时，算术平均值将无限接近真值，所以算术平均值是真值的最佳估算值。

    算术平均值的标准误差用来评定算术平均值本身的离散性。

    我们通过多次重复测量，获得一组数据，并把求得的算术平均值作为测量结果。如果在相同的条件下再重复测量该被测量量时，而随机误差的影响不能得到完全相同的，这表明算术平均值本身具有离散性。为了评定算术平均值的离散性，我们引入算术平均值的标准误差,可以证明

    =                             (Ⅰ-2-9)

    式中，n为重复测量次数。算术平均值的标准误差表示算术平均值的误差落在（，）之内的概率为68.3%。

    由式（Ⅰ-2-9）中看出增加测量次数，可使算术平均值的标准误差减小，提高测量的精度。但由于的增大对系统误差无影响，由于测量误差是随机误差与系统误差的综合，所以增加测量次数对减少误差的作用是有限的。

    ③标准偏差，贝赛尔公式

    由于真值无法测得，因此前面对误差的讨论只有理论上的价值。下面讨论在实际测量中误差的估算方法。

    由于算术平均值最接近真值，所以用算术平均值代替真值，去估算标准误差

                        （Ⅰ-2-10）

    这个式子称为贝赛尔公式。贝赛尔公式是用残差（）求标准误差的估算值，称此估算值为测量值的标准偏差。

    算术平均值的标准误差的估算值称为算术平均值的标准偏差。

    若测量值的标准偏差为，则：

                   （Ⅰ-2-11）

    公式（Ⅰ-2-11）也称为贝赛尔公式，请同学们记住，今后我们会常用到。

    （3）粗大误差

    粗大误差简称粗差，是由于实验者粗心大意或环境突发性干扰而造成的，该测量值为异常数据或坏值。在处理数据时不能把坏值计算在内，应予以剔除。具体做法是：求出和（可用标准偏差替代），将与3进行比较，大于3的测量值都是坏值，应剔除掉。这种判断方法称为3法则。

    在测量中，若一组等精度测量值中的某值与其它值相差很大，应找一下原因，判断是否是粗差引起的。若是，则将其剔除；若找不出原因或无法肯定，就先求出所有测量值（包括可疑坏值）的标准差，然后用3法则判断。当怀疑有坏值时要多测几个数据。

Ⅰ-3  不确定度及测量结果表达式

    用标准误差来评估测量结果可靠程度的做法不是很完善，有可能遗漏一些影响测量结果准确性的因素，例如仪器误差等。为了更准确地表述测量结果的可靠程度和在国际上规定的统一，1993年国际计量组织（BIPM）、国际电工委员会（IEC）、国际临床化学联合会（IFCC）、国际标准化组织（ISO）、国际理论与应用化学联合会（IUPAC）、国际理论与应用物理联合会（IUPAP）和国际法制计量组织（OIML）等七个国际组织正式发布了“测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）”，为计量标准的国际对比和测量不确定度的统一奠定了基础。为了加速与国际惯例接轨，我国制定了一系列技术标准，计量标准部门也已明确指出采用不确定度作为误差数字指标的名称。因此物理实验课程也引入了不确定度来评定测量结果的质量。

    由于测量不确定度表达涉及知识面较广，超出了本课程的教学范围。因此，本课程在保证科学性的前提下，尽量简化，使学生易于接受和运用。

一、不确定度的概念

    1．不确定度

    不确定度表示由于测量误差的存在而造成对被测量值不能确定的程度。它是测量结果表达式中的一个参数，是对测量结果的真值所处范围的评定，表征被测量值的分散性、准确性和可靠程度。

    不确定度与误差是两个不同的概念，两者不应混淆。误差是测量值和真值之差，一般情况下，它是未知的，确定的、可正可负的量，不确定度是表示误差可能存在的范围，它的大小可以按一定的方法估算出来。

    测量结果可以写成下列标准形式：

                        （Ⅰ-3-1）

    式中，为测量值，为等精度多次测量的算术平均值，为不确定度、为相对不确定度。

    2．不确定度的表达

    通常，测量不确定度由几个分量构成，根据估算方法的不同，分为A类不确定度和B类不确定度。

    A类不确定度是指用统计方法计算的不确定度分量，用表示。

    B类不确定度是指用其它方法（非统计方法）计算的不确定度分量，用表示。

二、不确定度的评定

    1．A类不确定度的分量的估算

    把算术平均值作为测量结果，根据误差理论，当重复测量次数足够多（→∞）时，可求得置信概率为=0.95时A类不确定度分量

                           （Ⅰ-3-2）

    式中为算术平均值的标准偏差。

    当重复测量次数减少时，对式（Ⅰ-3-2）进行修正：

                            （Ⅰ-3-3）

    式中为修正因子，数值见表Ⅰ-3-1。

    表Ⅰ-3-1测量次数与A类不确定度分量之间的关系

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	∞
	12.7	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.14	2.09	1.96

    根据重复测量次数，从上表查出相应的值代入式（Ⅰ-3-3）便可得到置信概率为0.95的A类不确定度分量。

    2．B类不确定度的估算

    B类不确定度是用其它方法（非统计方法）计算的分量，如用统计分析无法发现的固有系统误差，就要B类分量来描述。B类分量应考虑到影响测量准确度的各种可能因素，要通过对测量过程的仔细分析，根据经验和有关信息来估计。为了简化起见，在本课程中通常主要考虑的因素是仪器误差，它是指测量器具的示值误差，或者按仪表准确度算出的最大基本误差。

    仪器误差可在仪器出厂说明书或仪器标牌上查到。例如：国家标准规定，量程为0~ 300mm以下的游标卡尺，其示值误差等于该尺的最小分度值；量程为0~ 25mm的一级螺旋测微计，示值误差为±0.004mm。

    电表的仪器误差用准确度等级K表示。其示值误差限为电表量程与准确度等级的百分数的乘积，即：=量程×K%。电阻箱分为5个级别，若级别为K，一般=示值×K%。

    对于精度较低的仪器，可取其最小分度值的一半。

    在大多数情况，大学物理实验把当作B类不确定度分量，即在仅考虑仪器误差的情况下，且置信概率大于0.95时，B类不确定分量表征值为

                              （Ⅰ-3-4）

    3．合成不确定度

    A类和B类分量采用方和根合成，得到合成不确定度为：

                （Ⅰ-3-5）

    4．间接测量量不确定度的估算

    在很多实验中我们进行的测量都是间接测量。因为间接测量量都是直接测量量的函数，所以，直接测量量的误差必定会造成间接测量量的误差，这被称为误差的传递。不确定度也是这样，间接测量结果的不确定度取决于直接测量结果的不确定度和函数关系的具体形式。分析如下：

    设间接测量量，是各相互独立的直接测量量 的函数，其函数形式为

    =                    （Ⅰ-3-6）

    各直接测量量的测量结果分别为，，…，，则间接测量量的最佳估计值为

    =                     （Ⅰ-3-7）

    由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此，间接测量量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同。不同之处是要用不确定度来替换微分，还要考虑到不确定度合成的统计性质。具体分为两种形式：

    （1） 函数关系为和差形式时

    对式（Ⅰ-3-6）求全微分

    

    用不确定度替换，并将等式右端进行方和根合成，得到间接测量量的不确定度方和根合成公式

             （Ⅰ-3-8）

    （2） 函数关系为积商形式时

    先对式（Ⅰ-3-6）取对数，得

    

    再对上式进行全微分

    

    用不确定度替换后，再进行方和根合成，得到间接测量量的不确定度方和根合成公式：

            （Ⅰ-3-9）

    用公式（Ⅰ-3-8）和（Ⅰ-3-9）估算间接测量量的不确定度时，应使各直接测量量的不确定度具有相同的置信概率，P≥0.95。

三、测量结果的表示

    测量结果，无论是直接测量还是间接测量得到的，其正确表示应包括测量量的最佳估计值，不确定度和单位。

    1．单次直接测量

    在某些精度要求不高或条件不许可的情况下，只需要进行单次测量。在单次测量中，单次测量值测作为被测量的最佳估计值。测量的不确定度与所用的测量仪器的精度、测量者的估读能力及测量条件等许多因素有关，因此它的合理估计实际比较复杂的。在一般情况下，对随机误差很小的测量，可以只估计不确定度的B类分量，用仪器误差作为测量值的总不确定度，测量结果表示为：

                           （Ⅰ-3-10）

    2．多次直接测量

    对多次直接测量的数据 进行处理的一般步骤是：

    （1）计算被测量的算术平均值

    

    把作为被测量的最佳估算值。

    （2）用贝赛尔公式求出算术平均值的标准偏差

    

    （3）剔除异常数据

    审查测量数据，如发现有异常数据，应予以剔除。剔除异常数据后，再重复步骤（1）～（3），直至完全剔除异常数据。

    （4）确定仪器误差

    查表I-3-1确定因子，求出总不确定度的A类分量。

    （5）求出总不确定度值

    

    （6）测量结果为

    

    3．间接测量

    间接测量的数据处理步骤：

    （1）按着直接测量处理步骤求出各直接测量值的结果：

    = ，…，

    （2）将直接测量值的最佳估计值代入函数关系式中，求出间接测量值的最佳估计值：

    =

    （3）根据间接测量量不确定度的方和根公式，求出间接测量量的不确定度：

    

或

    

4．最后结果表示

    

不确定度一般取1位有效数字，最后一位与对齐。

Ⅰ-4  有效数字

    测量任何一个物理量，其测量结果都包含误差，那么该物理量的数值就不应该无限制地写下去。测量结果只写到开始有误差的那一位数，以后的数按四舍五入法则进行取舍。

一、有效数字的概念

    1．有效数字的定义

    我们把测量结果中可靠的几位数加上有误差的一位数，称为测量结果的有效数字。或者说，有效数字中最后一位数字是不确定的。这里我们看到，有效数字是表示不确定度的粗略方法，而不确定度则是有效数字中最后一位数字的不确定度程度的定量描述，二者都表示含有误差的测量结果。

    2．关于有效数字应注意以下几点

    （1）在直接测量中，数据记录到误差发生位，即估读位。

    （2）有效数字的位数与小数点的位置无关，如：1.23与123都是三位有效数字。

    （3）关于0是不是有效数字的问题，可以这样来判断：从左向右数，以第一个不为零的有效数字为标准，它左边的0不是有效数字，它右边的0是有效数字。例如：0.0123是三位有效数字，而0.01230是四位有效数字。也就是说，当0只是用来表示小数点的位置时，它不是有效数字；否则，它是有效数字。作为有效数字的0，不可以忽略，例如：不能将1.35000cm省略成1.35cm，因为它们的准确程度是不同的。

二、数值书写规则

    1．测量结果表达式中的有效数字

    由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字只取一位。

    测量值的最后一位一般要与不确定度对齐。例如：=（1.00±0.02）cm。一次测量结果的有效数字，由仪器误差或估计的不确定度来确定；多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到的平均值的不确定度来确定；间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定。

    例如： 测量值=1.19423，其不确定度=0.003，测量结果写成=(1.194±0.003) ，我们把测量值中前面的三个数字，和9称为可靠数字，而最后一位与不确定度对齐的数字4称为可疑数字，是有效数字末位。

    概括起来说，测量值结果的有效数字是由不确定度来确定，测量值结果的最后一位数字要与不确定度对齐，数据截断时其尾数按四舍五入的法则进行舍取。所谓尾数是指有效数字末位后面的数字。

    2．科学表达式

    当数值很大或很小时，我们常用有一位整数和若干位小数乘以10的幂次来表示它们。如：光速写成=2.99792458×。

    在单位变换或一般表达式变换为科学表达式时只涉及小数点位置的改变，而不允许改变有效数字的位数。

三、有效数字的运算规则

    运算时应使结果具有足够的有效数字，不能多、也不能少。有效数字运算取舍的原则是，运算结果保留一位可疑数字。

    1．加减运算

    几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先出现的可疑数字对齐。

    例如：

    =71.3＋6.35－0.81＋271=347.84=348

    2．乘除运算

    几个数相乘除时，计算结果的有效数字位数与参加运算的各数值中有效数字位数最少的一个相同（或最多再多保留一位）。例如：

    =71.3×6.36÷0.81÷271=2.062571=2.1

    实际计算时，计算过程直接用计算器进行计算而不必进行位数的取舍，只要结果保留正确就行了。

    3．对数、三角函数和次方运算

    前面讲的简算方法不适用于对数、三角函数和次方运算。它们的计算结果必须按照不确定度的传递公式来计算函数值的不确定度，然后再根据测量结果最后一位数与不确定度对齐的原则来决定有效数字。

    例如：已知=60.00°0.03°，试求。

    ==0.866025(此值由计算器算得)；

    按照不确定度传递公式

    ==0.50.03=0.0003

    结果

    =0.86600.0003

    =0.03％

    上述简算方式不是绝对的。一般来说，为了避免在运算过程中由于数字的取舍引入计算误差，在运算过程中应多保留一位为妥，但最后结果中仍删去此位，以测量值最后一位与不确定度对齐的原则为准。

Ⅰ-5 实验数据处理方法

    进行实验必然要采集大量的数据，实验人员需要对实验的数据进行记录、整理、计算和分析，从而找出测量对象的内在规律，正确给出实验结果。所以说，实验数据处理是实验工作不可缺少的部分。下面介绍实验数据处理常用的几种方法：

一、列表法

    列表法是将记录的数据和处理过程以表格的形式表示。列表要求为：

    1．表格的名称写在表格上方居中。

    2．在表格中各行或列的标题栏内，标明物理量的名称、符号和单位，公因子和幂提至标题栏内。

    3．按照数据递增或递减的顺序将数据及处理过程列在表中，各量的函数关系应能反映出来。

    4．表格中数据应按有效数字法则记录。

二、作图法

    图线能够明显地表示出实验数据间的关系，揭示物理量之间的联系，并且通过它可以找出两个量之间的数学关系式，所以作图法是数据处理的重要方法之一，在科学技术上很有用处。

    作图规则如下：

    1．坐标纸的选用

    当决定了作图的参量以后，根据情况选取坐标纸，常用的坐标有直角坐标纸、对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等。大学物理实验常用的是直角坐标纸。纸的大小以相应物理量的误差位能在图上估读出为依据。

    2．坐标轴的选取与标度

    作图时通常以自变量做横轴（轴），以因变量为纵轴（轴），并标明坐标轴所代表的物理量（或相应的符号）和单位。坐标比例的选取，要做到可靠数字在图上应是可靠的。对于直线，其斜率在45度左右，以免图线偏于一方，坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用的比例为1∶1、1∶2、1∶5等。纵坐标与横坐标的比例可以不同，并且标度也不一定从零开始。

    坐标轴上面每隔一定的距离应均匀地标出分度值，标记所用的有效数字的位数与实验数据的有效数字位数相同。

    3．数据点的标出

    实验数据点用细铅笔以“+”符号标出，符号的交点即是数据点的位置。同一张图上如有几条实验曲线，各条曲线的数据点可用不同的符号（如×、△等）标出，以示区别。

    4．曲线的描绘

    由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明的直尺、三角板或曲线板等来连接。要尽可能使所描绘的曲线通过较多的实验点，对那些严重偏离曲线的个别点，应检查标点是否有错误。若有错误在连线时舍去不予考虑。其它不在图线上的点均匀分布在曲线两旁。对于仪器仪表的校正曲线和定标曲线，连接时应该将相临的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。

    5．注解和说明

    在图纸上要写明图线的名称，作图者姓名、日期及必要的说明。

    直线作图法要求求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。

    （1）计算直线斜率时，一般在直线上取相距较远两点和。这两个点不一定是实验数据点，但要在实验数据范围内选。并做好标记，在记号旁边注明坐标值。

    （2）求斜率：直线方程，将和两点坐标代入，使可计算出斜率，即

    （单位）

    （3）求截距：若横坐标起点为零，则可将直线用虚线延长得到与纵坐标轴的交点，便可求出截距。若起点不为零，则可用下式计算截距

    （单位）

三、逐差法

    当自变量与因变量之间成线性关系，自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时，可使用逐差法计算因变量变化的平均值。使用它既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后二组，将对应项分别相减，然后求出平均值。这种方法我们在“用牛顿环测透镜的曲率半径”及“迈克尔逊干涉仪的调节与使用”等实验中都用到。关于用逐差法处理实验数据，我们将结合实验做详细讲解。

    此外，实验数据的处理方法还有“最小二乘法”（线性回归），本书不再介绍。同学们今后用到的话，可自己阅读有关书籍。培养自学能力，学会学习，通过自学获取新知识，这对学生是非常重要的。

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